Question

9．设实数a＞-1，b＞0，且满足ab+a+b=1，则$\frac{ab+b}{b+2}$的最大值为6-4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知条件可得b=$\frac{1-a}{a+1}$且-1＜a＜1，代入消元并变形可得$\frac{ab+b}{b+2}$=-[（a+3）+$\frac{8}{a+3}$]+6，由基本不等式求最值的方法可得．

解答 解：∵a＞-1，b＞0，且满足ab+a+b=1，
∴（a+1）b=1-a，∴b=$\frac{1-a}{a+1}$，
由b=$\frac{1-a}{a+1}$＞0可得-1＜a＜1，
∴$\frac{ab+b}{b+2}$=$\frac{（a+1）•\frac{1-a}{a+1}}{\frac{1-a}{a+1}+2}$=$\frac{-{a}^{2}+1}{a+3}$
=$\frac{-（a+3）^{2}+6（a+3）-8}{a+3}$
=-（a+3）-$\frac{8}{a+3}$+6
=-[（a+3）+$\frac{8}{a+3}$]+6
≤-2$\sqrt{（a+3）•\frac{8}{a+3}}$+6=6-4$\sqrt{2}$
当且仅当（a+3）=$\frac{8}{a+3}$即a=3-2$\sqrt{2}$时取等号，
∵a=3-2$\sqrt{2}$满足-1＜a＜1，
∴$\frac{ab+b}{b+2}$的最大值为：6-4$\sqrt{2}$
故答案为：6-4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，消元并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键和难点，属中档题．