Question

15．已知f（x）=（x²-2ax）e^bx，x为自变量．
（1）函数f（x）分别在x=-1和x=1处取得极小值和极大值，求a，b．
（2）若a≥0且b=1，f（x）在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数f（x）分别在x=-1和x=1处取得极小值和极大值，-1，1是bx²+2（1-ab）x-2a=0的两个根，即可得出结论；
（2）先由f′（x）＞0，再根据函数f（x）在[-1，1]上为单调函数，将原问题转化为x²+2（1-a）x-2a≤0在[-1，1]恒成立问题，列出关于a的不等关系解之即得．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²-2ax）e^bx，
∴f'（x）=e^bx[bx²+2（1-ab）x-2a]，
∵函数f（x）分别在x=-1和x=1处取得极小值和极大值，
∴-1，1是bx²+2（1-ab）x-2a=0的两个根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+1=-\frac{2-2ab}{b}}\\{（-1）•1=-\frac{2a}{b}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
经检验，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
（2）f'（x）=e^x[x²+2（1-a）x-2a]
①若f（x）在[-1，1]递减，则f'（x）≤0在[-1，1]恒成立，
∴只需x²+2（1-a）x-2a≤0在[-1，1]恒成立，
即2a（x+1）≥x²+2x在[-1，1]恒成立，
x=-1时2a（x+1）≥x²+2x在[-1，1]恒成立；
x∈（-1，1]时，需满足a≥$\frac{{x}^{2}+2x}{2（x+1）}$，令g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x}{2（x+1）}$，
则g′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{2（x+1）^{2}}$＞0在x∈（-1，1]恒成立，
∴g（x）在（-1，1]递增，∴g（x）_max=g（1）=$\frac{3}{4}$，∴a≥$\frac{3}{4}$；
②若f（x）在[-1，1]递增，则f'（x）≥0在[-1，1]恒成立，
但f'（-1）=-1，∴f（x）在[-1，1]不递增；
综上a≥$\frac{3}{4}$．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．