Question

已知函数f（x）=ax³-bx²在点（2，f（2））处的切线方程为6x+3y-10=0．
（1）求a，b的值；
（2）如果函数f（x）=-

m

2

x²+mx-

1

3

有三个不同零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，由f′（2）=-2，x=2时曲线与切线上点的纵坐标相等联立方程组求解a，b的值；
（2）构造函数g（x）=g（x）=f（x）-（-

m

2

x²+mx-

1

3

），求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，
根据导函数在各区间段内的符号分析原函数的单调性，继而求出函数的极大值和极小值，分别由极小值小于0和极大值大于0联立不等式组求解m的取值范围．

解答： 解：（1）由f（x）=ax³-bx²，得：f′（x）=3ax²-2bx，
∵函数f（x）=ax³-bx²在点（2，f（2））处的切线方程为6x+3y-10=0，
∴f′（2）=12a-4b=-2  ①
将x=2代入切线方程得y=-

2

3

，
∴f（2）=8a-4b=-

2

3

  ②．
①②联立，解得a=-

1

3

，b=-

1

2

；
（2）由（1）知，f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²．
令g（x）=f（x）-（-

m

2

x²+mx-

1

3

）
=-

1

3

x³+

1

2

x²+

m

2

x2-mx+

1

3

=-

1

3

x3+

m+1

2

x2-mx+

1

3

．
则g′（x）=-x²+（m+1）x-m，
由g′（x）=0，得x=1或x=m．
当m=1时，g′（x）≤0，函数g（x）在定义域内单调递减，
∴g（x）至多有一个零点，不满足题意；
当m＜1时，x∈（-∞，m），（1，+∞）时，g′（x）＜0，
x∈（m，1）时，g′（x）＞0，
∴函数的极小值为g（m）=-

1

3

m3+

1

2

m3+

1

2

m2-m2+

1

3

=

1

6

m3-

1

2

m2+

1

3

．
极大值为g（1）=-

1

3

+

1

2

m+

1

2

-m+

1

3

=

1

2

-

1

2

m．
要使f（x）=-

m

2

x²+mx-

1

3

有三个不同零点，
则

1 6 m3- 1 2 m2+ 1 3 ＜0 1 2 - 1 2 m＞0

，解得：m＜1-

3

；
当m＞1时，x∈（-∞，1），（m，+∞）时，g′（x）＜0，
x∈（1，m）时，g′（x）＞0，
∴函数的极小值为g（1）=-

1

3

+

1

2

m+

1

2

-m+

1

3

=

1

2

-

1

2

m．
极大值为g（m）=-

1

3

m3+

1

2

m3+

1

2

m2-m2+

1

3

=

1

6

m3-

1

2

m2+

1

3

．
要使f（x）=-

m

2

x²+mx-

1

3

有三个不同零点，
则

1 2 - 1 2 m＜0 1 6 m3- 1 2 m2+ 1 3 ＞0

，解得：m＞1+

3

．
综上，使f（x）=-

m

2

x²+mx-

1

3

有三个不同零点的m的范围是(-∞，1-

3

)∪(1+

3

，+∞)．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数零点的判断方法，训练了函数构造法，体现了数学转化思想方法，考查了利用导数求函数的极值，是压轴题．