Question

已知实数a，b∈{-2，-1，1，2}
（Ⅰ）求直线y=ax+b不经过第四象限的概率；
（Ⅱ）求直线y=ax+b与圆x²+y²=1有公共点的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）列出由a，b做直线的斜率与纵截距所以的结果，列出直线y=ax+b不经过第四象限的所有的结果，利用古典概型的概率公式求出直线y=ax+b不经过第四象限的概率．
（2）利用直线与圆的位置关系的判断条件，列出直线y=ax+b与圆x²+y²=1有公共点转化为圆心到直线的距离大于半径得到a，b满足的不等式，列举出所有的a，b情况，利用古典概型的概率公式求出概率值．

解答： 解：（1）记直线y=ax+b为（a，b）．
由题意，实数a、b∈{-2，-1，1，2}，
则所有可能的结果有：
（-2，-2），（-2，-1），（-2，1），（-2，2），
（-1，-2），（-1，-1），（-1，1），（-1，2），
（1，-2），（1，-1），（1，1），（1，2），
（2，-2），（2，-1），（2，1），（2，2）．每种结果是等可能的，故试验中包含16个基本事件
设事件A：“直线y=ax+b不经过第四象限”，
则它包含（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）．四个基本事件
∴P（A）=

4

16

=

1

4

；
（2）设事件B：“y=ax+b与圆x²+y²=1有公共点”，
则可知

|b|

a2+1

≤1，即b²≤a²+1，
则它包含（-2，-2），（-2，-1），（-2，1），（-2，2），
（-1，-1），（-1，1），
（1，-1），（1，1），
（2，-2），（2，-1），（2，1），（2，2）共12个基本事件
∴P（B）=

12

16

=

3

4

；
答：直线y=ax+b不经过第四象限概率为

1

4

；y=ax+b与圆x²+y²=1有公共点的概率为

3

4

．

点评：求古典概型的概率，首先要求出各个事件包含的基本事件个数，求事件的基本事件的个数的方法有：列举法、排列、组合的方法、图表法．