Question

已知函数f（x）=（4x²-4ax+a²）

x

，其中a＞0．
（I）当a=4时，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=4时，先求导，在根据导数求出f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．

解答： 解；（Ⅰ）当a=4时，f（x）=（4x²-16x+16）

x

，
∴f′（x）=（8x-16）

x

+（4x²-16x+16）

1

2 x

=2

x

（5x+

4

x

-12）=

2 x

x

（5x²-12x+4），
∵f′（x）＜0，x≥0，
∴5x²-12x+4＜0
解得，

2

5

＜x＜2，
∴f（x）的单调递减区间为（

2

5

，2）；
（Ⅱ）∵f（x）=（4x²-4ax+a²）

x

∴f′（x）=

x

2x

（20x²-12ax+a²）
令f′（x）=0．解得x=

a

10

或

a

2

，
当f′（x）＞0时，x在（0，

a

10

），（

a

2

，+∞）为单调递增，
当f′（x）＜0时，x在（

a

10

，

a

2

）上单调递减，
①当

a

10

≥4，即a≥40，f（x）在区间[1，4]为增函数，
由f（1）=8，解得a=2±2

2

，不符合舍去．
②当

a

2

≤1，即0＜a≤2时，f（x）在区间[1，4]为增函数，
由f（1）=8，解得a=2±2

2

，不符合舍去．
③当

a

10

≤1，且

a

2

≥4，即8≤a≤10时，f（x）在区间[1，4]为减函数，
由f（4）=8，解得a=10，
④当1＜

a

10

＜4，即10＜a＜40时，由f（1）=8或f（4）=8，
解得，a=2±2

2

，或a=6，a=10，不符合舍去，
⑤当1＜

a

2

＜4，即4＜a＜8时，由f（

a

2

）=8，无解．
综上所述，a=10．

点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题．