Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知Sn=2an-2n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：当x＞0时，ln(x+1)＞

x

x+1

；
（Ⅲ）令cn=(-1)n+1log

an

n+1

2，数列{c_n}的前2n项和为T_2n．利用（2）的结论证明：当n∈N^*且n≥2时，

T

2n

＜ln2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出an-2an-1=2n（n≥2），

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）令g(x)=ln(x+1)-

x

x+1

(x＞0)，利用导数求出g（x）＞g（0）=0，从而能证明当x＞0时，ln(x+1)＞

x

x+1

．
（Ⅲ）由cn=(-1)n+1•

1

n

，知当n≥2时，T2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，由此能证明当n∈N^*且n≥2时，

T

2n

＜ln2．

解答： （Ⅰ）解：由Sn=2an-2n+1，
得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）…（2分）
两式相减，得an=2an-2an-1-2n，
即an-2an-1=2n（n≥2）
于是

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，所以数列{

an

2n

}是公差为1的等差数列…..…．（3分）
又S1=2a1-22，所以a₁=4．
所以

an

2n

=2+(n-1)=n+1，
故an=(n+1)•2n．…．（5分）
（Ⅱ）证明：令g(x)=ln(x+1)-

x

x+1

(x＞0)，
则g′(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

＞0，（7分）
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，
g（x）＞g（0）=0，
即当x＞0时，ln(x+1)＞

x

x+1

…．（9分）
（Ⅲ）证明：因为cn=(-1)n+1•

1

n

，
所以当n≥2时，T2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

)-2(

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

)
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

．…（11分）
下面证

1

n+1

+

1

n+1

+…+

1

2n

＜ln2
令x=

1

n

，由（2）可得ln

n+1

n

＞

1

n+1

，
所以ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，ln(n+2)-ln(n+1)＞

1

n+2

，…，ln(2n)-ln(2n-1)＞

1

2n

以上n个式相加，即有ln(2n)-lnn＞

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

∴

1

n+1

+

1

n+1

+…+

1

2n

＜ln(2n)-lnn=ln2…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质和分组求和法的合理运用．