Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：
（1）B₁D₁∥平面BC₁D；   
（2）A₁C⊥B₁D₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由B₁D₁∥BD，得到B₁D₁∥平面BC₁D．
（2）由已知条件推导出B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥CC₁，从而B₁D₁⊥平面A₁C₁C，由此能证明A₁C⊥B₁D₁．

解答： 证明：（1）连结BC₁，BD，DC₁，
∵B₁D₁∥BD，
B₁D₁不包含于平面BC₁D，BD?平面BC₁D，
∴B₁D₁∥平面BC₁D．
（2）连结B₁D₁，A₁C₁，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴B₁D₁⊥A₁C₁，
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?A₁B₁C₁D₁，
∴B₁D₁⊥CC₁，
∵A₁C₁∩CC₁=C₁，
∴B₁D₁⊥平面A₁C₁C，
又A₁C?平面A₁C₁C，∴A₁C⊥B₁D₁．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．