Question

已知O为坐标原点，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是椭圆

x2

4

+

y2

2

=1上的点，且x₁x₂+2y₁y₂=0，设动点P满足

OP

=

OM

+2

ON

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C交于A，B两点，求三角形OAB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设点P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

OP

=

OM

+2

ON

，得（x，y）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），由点差法得kOM•kON=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，由此能求出动点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）将曲线C与直线l联立：

x2+2y2=20 y=x+m

，得：3x²+4mx+2m²-20=0，设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出三角形OAB面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设点P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则由

OP

=

OM

+2

ON

，得（x，y）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
即x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，因为点M，N在椭圆

x2

4

+

y2

2

=1上，
所以 x12+2y12=4，x22+2y22=4，
故x2+2y2=(x12+4x22+4x1x2)+2(y12+4y22+4y1y2)
=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2)
=20+4（x₁x₂+2y₁y₂），
设k_OM，k_ON分别为直线OM，ON的斜率，
由题意知，kOM•kON=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
因此x₁x₂+2y₁y₂=0，
所以动点P的轨迹C的方程为x²+2y²=20．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知P点是椭圆

x2

(2 5 )2

+

y2

( 10 )2

=1上的点，
设该椭圆的左右焦点为F₁、F₂，则由椭圆的定义，|PF₁|+|PF₂|为定值，
又因为c=

(2 5 )2+( 10 )2

=

10

，
因此两焦点的坐标分别为F1(-

10

，0)，F2(

10

，0)．
将曲线C与直线l联立：

x2+2y2=20 y=x+m

，消y得：3x²+4mx+2m²-20=0，
∵直线l与曲线C交于A、B两点，设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
∴△=16m²-4×3×（2m²-20）＞0，x3+x4=-

4m

3

，x3x4=

2m2-20

3

，
又∵m≠0，得0＜m²＜30，
∵点O到直线AB：x-y+m=0的距离d=

|m|

2

，
∴|AB|=

(1+k2)

|x1-x2|=

2×( 16m2 9 -4× 2m2-20 3 )

=

16 9 (30-m2)

，
∴S△ABC=

1

2

×

16 9 (30-m2)

×

|m|

2

=

2

3

×

m2×(30-m2)

≤

2

3

×

m2+(30-m2)

2

=5

2

．
∴三角形OAB面积的最大值为5

2

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式的合理运用．