Question

已知函数f（x）=2e^x-ax-2（a∈R）
（1）讨论函数的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求函数的定义域，易知x∈R，然后对原函数求导，借助于函数y=2e^x的图象，通过变换得到f′（x）=2e^x-a的图象，解不等式得到原函数的单调区间．
（2）这是一道不等式恒成立问题，因此只需当x≥0时，f（x）_min≥0即可，再结合（1）中对函数单调性的研究，确定f（x）的最小值，则问题可解．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2e^x-a．
若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
若a＞0，令f′（x）=0得x=ln

a

2

，易知
当x∈（-∞，ln

a

2

）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，ln

a

2

）上单调递减；
当x∈（ln

a

2

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在[ln

a

2

，+∞）上单调递增；
综上，a≤0时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；a＞0时，f（x）在（-∞，ln

a

2

）上单调递减，在ln

a

2

，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）注意到f（0）=0．
（1）当a≤0时，则当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，只需f（x）_min=f（0）=0，显然成立．
（2）当a＞0时
若ln

a

2

≤0，即0＜a≤2，则当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，f（x）≥f（0）=0，符合题意．
若ln

a

2

＞0，即a＞2，则当x∈（0，ln

a

2

）时，f（x）单调递减，又因为f（0）=0，所以此时f（x）＜0，不合题意．
综上所述，a的取值范围是（-∞，2]．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式恒成立问题．对于此类问题在解不等式时要充分利用数形结合的思想辅助分析，进行讨论；而不等式恒成立问题往往转化为函数的最值问题，再进一步利用导数研究函数的单调性求最值．