Question

【题目】已知函数，

（Ⅰ）若，且是函数的一个极值，求函数的最小值；

（Ⅱ）若，求证：，.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】分析：（I）由函数的解析式可得．结合，可得， 利用导函数研究函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增，函数的最小值为．

（II ）若，则，，

由在上单调递增，分类讨论：

①当在上单调递增时，；

②当在上单调递减时，；

③当在上先减后增时，，， ，

综上①②③得：，．

详解：（I），定义域为，

．

由题意知，即，解得，

所以，，

又、、（）在上单调递增，

可知在上单调递增，又，

所以当时，；当时，．

得在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的最小值为．

（II ）若，得，

由在上单调递增，可知在上的单调性有如下三种情形：

①当在上单调递增时，

可知，即，即，解得，

，令，则，

所以单调递增，，所以；

②当在上单调递减时，

可知，即，即，解得，

得，所以；

[或：令，则，

所以单调递减，，所以；]

③当在上先减后增时，得在上先负后正，

所以，，即，取对数得，

可知 ，

所以；

综上①②③得：，．