题目内容

20．如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF=2FA，BF交CE于点M，设$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AE}$+y$\overrightarrow{AF}$，则x+y=$\frac{1}{5}$．

分析 分别在△AEM、△AFM中，由向量的加法法则利用算两次的方法，代入已知条件计算，即可得出结论．

解答 解：由图及向量的加法和减法可知：$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EM}$，
由$\overrightarrow{EM}$与$\overrightarrow{EC}$共线，可设$\overrightarrow{EM}$=m$\overrightarrow{EC}$，∴$\overrightarrow{AM}$=（1-m）$\overrightarrow{AE}$+3m$\overrightarrow{AF}$；
同理可得$\overrightarrow{AM}$=（1-n）$\overrightarrow{AF}$+2n$\overrightarrow{AE}$；
又$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AE}$+y$\overrightarrow{AF}$，则$\left\{\begin{array}{l}{1-m=2n=x}\\{3m=1-n=y}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{3}{5}$．
∴x-y=$\frac{1}{5}$．
故答案为$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查平面向量基本定理的运用，充分理解向量的运算法则及共线的意义是解题的关键．

练习册系列答案
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10．若△ABC的面积为$2\sqrt{3}$，BC=2，C=120°，则边AB=$2\sqrt{7}$．
11．设点M（m，0）在椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围是[1，4]．
8．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为$ρsin（\frac{π}{6}-θ）=m$（m为常数），圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+2sinα\\ y=\sqrt{3}+2sinα\end{array}$（α为参数）
（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；
（2）若圆心C关于直线l的对称点亦在圆上，求实数m的值．
15．与直线2x-6y+1=0垂直，且与曲线f（x）=x3+3x2-1相切的直线方程是（　　）
A．3x-y+2=0B．3x+y+2=0C．x+3y+2=0D．x-3y-2=0
5．若函数f（x）=log2（x2+ax）在（1，+∞）是增函数，则a的取值范围是[-1，+∞）．
12．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={0，2，3}，∁UN={1，2，4}，则M∩N等于（　　）
A．{0，3}B．{0，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}
9．如图所示程序输出的结果是（　　）
A．3，2B．2，2C．3，3D．2，3
10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x2，若存在实数a，b，使f（x）在[a，b]上的值域为[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]，则ab=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

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