Question

直角坐标系xoy内，有曲线ξ：xy=η，（η，x＞0），过ξ与其对称轴所在直线的交点作ξ的切线l，记l与x轴交点为P．若以O为圆心，以|

OP

|为半径做圆O交ξ与A，B两点，则△OAB是面积为

 

的

 

（形状）三角形．

Answer 1

考点：曲线与方程

专题：函数的性质及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：曲线ξ：xy=η，（η，x＞0），即反比例函数y=

η

x

图象第一象限的一支，ξ与其对称轴所在直线的交点坐标为（

η

，

η

），利用导数法求出切线方程，进而求出P点坐标，进而联立圆的参数方程和曲线ξ的方程，可判断出△OAB是边长为2

η

的等边三角形，进而得到答案．

解答： 解：曲线ξ：xy=η，（η，x＞0），即反比例函数y=

η

x

图象第一象限的一支，
ξ与其对称轴所在直线的交点坐标为（

η

，

η

），
∵y′=-

η

x2

，
故切线l的斜率k为y′|_x=

η

=-1，
故切线l的方程为：y-

η

=-（x-

η

），
即x+y-2

η

=0，
故P点坐标为（2

η

，0），
则以O为圆心，以|

OP

|为半径做圆O的参数方程为：

x=2 η cosθ y=2 η sinθ

，θ为锐角，
代入xy=η得：4sinθcosθ=1，
则2sin2θ=

1

2

，
则θ=15°，或θ=75°，
故△OAB是边长为2

η

的等边三角形，
其面积为：

3

η
故答案为：

3

η，等边

点评：本题考查的知识点是曲线与方程，导数法求过某点的切线方程，三角形形状的判断，难度中档．