Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），且点P（0，1）在C₁上．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设直线l过点（0，

2

）且与椭圆C₁相切，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由条件可得，c=1，b=1，再由a，b，c的关系，求得a，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式为0，解方程，即可得到k，进而得到直线方程．

解答： 解：（1）由已知，左焦点为F₁（-1，0），则c=1，
又已知点P（0，1）在椭圆上，显然为上顶点，则b=1，
又a²=b²+c²=2，
则所求椭圆C₁的标准方程为：

x2

2

+y²=1；
（2）由题意，显然设直线l必存在斜率，
又直线过点（0，

2

），
∴设所求直线l的方程为：y-

2

=k（x-0），
再简化为：y=kx+

2

，联立椭圆方程

x2

2

+y²=1，
消去y，（1+2k²）x²+4

2

kx+2=0，
要使直线l与此椭圆相切，只需：
△=（4

2

k）²-4×2（2k²+1）=0，
解得：k²=

1

2

，即k=±

2

2

，
则所求直线方程为：y=±

2

2

x+

2

，
即：x-

2

y+2=0或x+

2

y-2=0．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆相切的条件，联立直线和椭圆方程得到二次方程，运用判别式为0，考查运算能力，属于中档题．