Question

17．已知函数f（x）=-x²+2x，g（x）=|f（x）|．
（1）求f（x）在区间[-1，2]上的最小值；
（2）作出函数g（x）的图象，并根据图象写出其单调减区间；
（3）若函数y=g（x）-log₂m至少有三个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质即可求出函数的最小值，
（2）先化为分段函数，再画图即可，并根据图象写出其单调减区间，
（3）由题意可知y=g（x）与y=log₂m的两图象至少有三个交点，结合图象可得．

解答 解：（1）∵f（x）在[-1，1]上是增函数，在（1，2]上是减函数，
∴f（x）_min=f（-1）=-1-2=-3．
（2）∵$g（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x，0≤x≤2\\{x^2}-2x，x＜0或x＞2\end{array}\right.$
∴作出函数g（x）的图象如图，

故函数g（x）的单调递减区间是（-∞，0）和（1，2）．
（3）由题意可知y=g（x）与y=log₂m的两图象至少有三个交点，
所以根据（2）中图象可得0＜log₂m≤1，
∴1＜m≤2，
即m∈（1，2]．

点评 本题考查了二次函数的图象和性质以及绝对值函数图象的画法和参数的取值范围，属于中档题