Question

12．已知函数$f（x）={log_2}（{x^2}-2ax+3）$在区间$（\frac{1}{2}，1）$上为减函数，则a的取值范围为[1，2]．

Answer 1

分析 利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答 解：设t=g（t）=x²-2ax+3，则函数y=log₂t为增函数，
若函数f（x）=log₂（x²-2ax+3）在区间$（\frac{1}{2}，1）$上内单调递减，
则等价为g（t）=x²-2ax+3在区间$（\frac{1}{2}，1）$上内单调递减且g（1）≥0，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-2a}{2}=a≥1}\\{g（1）=1-2a+3≥0}\end{array}\right.$，
解得1≤a≤2，
故a的取值范围是[1，2]．
故答案为[1，2]．

点评 本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．