题目内容
2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx＞cosx}\\{cosx，sinx≤cosx}\end{array}\right.$，关于f（x）的叙述①最小正周期为2π
②有最大值1和最小值-1
③对称轴为直线$x=kπ+\frac{π}{4}（{k∈Z}）$
④对称中心为$（{kπ+\frac{π}{4}，0}）（k∈Z）$
⑤在$[{\frac{π}{2}，π}]$上单调递减
其中正确的命题序号是①③⑤．（把所有正确命题的序号都填上）
分析 解：画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx＞cosx}\\{cosx，sinx≤cosx}\end{array}\right.$的图象，数形结合可得结论．
解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx＞cosx}\\{cosx，sinx≤cosx}\end{array}\right.$，表示取sinx和cosx中值较小的，它的图象如图中红色部分所示：
而sinx和cosx都是周期为2π的函数，∴f（x）的最小正周期为2π，故①正确．
结合f（x）的图象可得f（x）的最大值为1，最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故②错误．
结合f（x）的图象可得f（x）的最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（x）的图象的对称轴为直线$x=kπ+\frac{π}{4}（{k∈Z}）$，
故③正确，④错误．
函数f（x）在$[{\frac{π}{2}，π}]$上单调递减，故⑤正确，
故答案为：①③⑤．
点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | 2x+6 | B． | 6x-2 | C． | 3x-1 | D． | x+3 |
14．直线y=kx+1-k与椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的位置关系为（ ）
| A． | 相交 | B． | 相切 | C． | 相离 | D． | 不确定 |
11．若函数y=x2-mx+1在区间[1，2]上单调递增，则实数m的取值范围是（ ）
| A． | （-∞，2] | B． | （-∞，2） | C． | （4，+∞） | D． | [4，+∞） |