Question

已知函数
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若函数没有零点，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）切线方程为；
（Ⅱ）单调减区间为，单调增区间为；
（Ⅲ）当时，没有零点.

试题分析：（Ⅰ）应用导数的几何意义，在切点处的导函数值，等于在该点的切线的斜率，求得斜率，                          利用直线方程的点斜式，求得曲线方程.
（Ⅱ）应用导数研究函数的单调性，遵循“求导数，求驻点，讨论各区间导数值的正负”.利用“表解法”形象直观，易以理解.解答此题，也可以通过解，分别确定函数的增区间、减区间.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数的单调区间及函数取得极值的情况.
注意讨论的不同取值情况、、，根据函数的单调性即极值情况，确定的取值范围.
试题解析：解：（Ⅰ）当时，，               1分
，                                          3分
所以切线方程为                                 5分
（Ⅱ）                                           6分
当时，在时，所以的单调增区间是； 8分
当时，函数与在定义域上的情况如下：

		0	+
	↘	极小值	↗

                                                                10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知
①当时，是函数的单调增区间，且有，，
所以，此时函数有零点，不符合题意；                              11分
②当时，函数在定义域上没零点；                 12分
③当时，是函数的极小值，也是函数的最小值，
所以，当，即时，函数没有零点    13分
综上所述，当时，没有零点.                       14分