Question

已知函数在点处的切线方程为．
⑴求函数的解析式；
⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；
⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）4；（3）.

试题分析：（1）利用切点处的切线的斜率就是切点处的导数可列关于一个的等式，再根据切点既在曲线上又在切线上又可列出关于一个的等式，联立即可解出关于，从而求出函数（2）对于区间上任意两个自变量的值都有，可转化为，再转化为，而利用导数判断单调性后易求；（3）可设切点为，求出切线方程后，将点坐标代入可得关于的三次方程，过点可作曲线的三条切线，则表示这个方程有三个不同的解，再转化为三次函数的零点的判断，可求极值用数形结合的方法解决，这是我们所熟悉的问题.
试题解析：⑴．                      2分
根据题意，得即解得        3分
所以．                        4分
⑵令，即．得．

					1		2
		+				+
		增	极大值	减	极小值	增	2

因为，，
所以当时，，．            6分
则对于区间上任意两个自变量的值，都有
，所以．
所以的最小值为4．                          8分
⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为．
则．
因为，所以切线的斜率为．            9分
则=，                        11分
即．
因为过点可作曲线的三条切线，
所以方程有三个不同的实数解．
所以函数有三个不同的零点．
则．令，则或．

		0		2
	+				+
	增	极大值	减	极小值	增

则 ，即，解得．             16分