Question

（1）化简

810+410 84+411

．
（2）计算：

(log25)2-4log25+4

+log₂

1

5

．
（3）若函数y=log₂（ax²+2x+1）的值域为R，求a的范围．

Answer 1

考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算,函数的值域,函数恒成立问题

专题：综合题

分析：（1）根据根式与分数指数幂进行化简即可；
（2）根据二次根式的性质以及对数的运算进行化简即可；
（3）根据题意，讨论a的取值范围，求出满足条件的a的取值范围即可．

解答： 解：（1）原式=

410(210+1) 44(24+47)

=

46(210+1) (24+214)

=

46(210+1) 24(1+210)

=

212 24

=2⁴=16；
  （2）∵log₂5＞2，∴log₂5-2＞0；
∴原式=

(log25-2)2

+log₂5^-1=（log₂5-2）-log₂5=-2；
  （3）∵函数y=log₂（ax²+2x+1）的值域为R，
∴ax²+2x+1取遍大于0的实数，
当a=0时，2x+1＞0，x＞-

1

2

，满足题意；
当a＜0时，二次函数图象开口向下，不满足题意；
当a＞0时，△=2²-4a≥0，解得a≤1，∴0＜a≤1；
综上，a的取值范围是[0，1]．

点评：本题考查了根式与分数指数幂的运算法则的应用问题，也考查了对数的运算性质的应用问题，二次函数的性质与应用问题，是综合题．