Question

在直线l：x+y-5=0上找一点P（x，y），使P对A（1，0），B（3，0）的视角∠APB最大．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：设（a，5-a），要使∠APB最大，只要tan∠APB最大，求得tan∠APB=|

5-a a-1 - 5-a a-3

1+ 5-a a-1 • 5-a a-3

|=

5-a

a2-7a+14

，再利用基本不等式求得它的最大值，从而得点P的坐标．

解答： 解：设P（a，5-a），要使∠APB最大，只要tan∠APB最大．
∵a=5时，∠APB=0，∴a＜5，5-a＞0．
∵K_PA=

5-a

a-1

，k_PB=

5-a

a-3

，
tan∠APB=|

5-a a-1 - 5-a a-3

1+ 5-a a-1 • 5-a a-3

|=

5-a

a2-7a+14

令t=5-a（t＞0），tan∠APB=

t

t2-3t+4

=

1

t+ 4 t -3

≤1，当且仅当t=2，即a=3时，取等号．
∴∠APB的最大值为

π

4

，此时，点P的坐标为（3，2）．

点评：本题主要考查两条直线的夹角公式，以及基本不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．