Question

已知f（x）=1n（x+1）-ax（a∈R）
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为{x|x＞-1}，f′(x)=

1

x+1

-a，由此利用分类讨论思想能求出f（x）的单调区间．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，由此利用导数性质能求出f（x）在定义域上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=1n（x+1）-ax，
∴f（x）的定义域为{x|x＞-1}，f′(x)=

1

x+1

-a，
当a=0时，∵f′(x)=

1

x+1

＞0，∴f（x）的单调增区间为（-1，+∞）；
当a＜0时，∵f′(x)=

1

x+1

-a＞0，∴f（x）的单调增区间为（-1，+∞）；
当a＞0时，由f(x)′=

1

x+1

-a＞0，得x＜

1

a

-1，
∴f（x）的单调递增区间为（-1，

1-a

a

），
由f′（x）＜0，得x＞

1

a

-1，∴f（x）的减区间为（

1-a

a

，+∞）．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，
由（Ⅰ）知f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴x=0时，f（x）在定义域上取最大值f（0）=0．

点评：本题考查函数的单调区间和最小值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和导数性质的合理运用．