Question

已知函数f（x）=x²•ln|x|（x≠0）．
（Ⅰ）求f（x）的最值；   
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=kx-1无实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点与方程根的关系

专题：导数的综合应用

分析：（1）显然该函数是偶函数，所以只需研究当x＞0时的函数最值，对函数求导，判断导数在定义域内的符号确定单调性；
（2）利用函数的导数研究单调性、极值、最值情况研究图象，再结合图象确定k的范围．

解答： 解：（ I ）∵f（x）为偶函数，∴我们先求其在（0，+∞）内的最值．
求导得f′（x）=x（2lnx+1），令f′（x）=0⇒2lnx+1=0⇒x=e 

1

2

，
易知：x∈（0，e -

1

2

）时，f′（x）＜0⇒f（x）单调递减；x∈（e -

1

2

，+∞）时，f′（x）＞0⇒f（x）单调递增．
故f（x）在（0，+∞）上的最小值f（x）_min=f（e -

1

2

）=-

1

2e

．
再由f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称即知：f（x）_min=-

1

2e

为所求．
（ II ）由（ I ）知：f（x）的图象大致如右图所示：

由图象（曲线为f（x）的图象）知：当求出直线y=kx-1
与f（x）的图象相切时，其斜率k的值后，便可求得该直线与f（x）的图象无交点，即
方程f（x）=kx-1无实数解时，其斜率k的取值范围．  我们先考虑x＞0的情况．
设切点为（x₀，y₀），x₀＞0⇒k_切=x₀（2ln x₀+1）⇒切线方程为：y=x₀（2ln x₀+1）x+y₀-x₀²（2ln x₀+1），
因该切线与y=kx-1重合，故x₀²（2ln x₀+1）=1⇒2x₀²ln x₀=1-x₀²．此即2 f（x₀）=1-x₀²． （※）
在同一坐标系内，作出函数y=2f（x），x＞0，与y=1-x²的图象，可知它们的交点为（1，0）．
故方程（※）的解为：x₀=1⇒k_切=1；⇒x＞0时，k≥1，直线y=kx-1与f（x）的图象有交点（即原方程有解）．
再根据f（x）的图象的对称性易知：k≤-1时，直线y=kx-1与f（x）的图象也有交点．
故-1＜k＜1时，直线y=kx-1与f（x）的图象无交点，即方程f（x）=kx-1无实数解．
故所求的k的范围是（-1，1）．

点评：本题充分考查了利用导数研究函数的单调性、极值、等性质，确定函数的图象，再进一步研究方程根的取值情况的常规思路．