题目内容
在△ABC中，acosC+
csinA-b-c=0．
（1）求A；
（2）若a=2，三角形面积为
，求b和c；
（3）若a=2，求b+c的范围．
| 3 |
（1）求A；
（2）若a=2，三角形面积为
| 3 |
（3）若a=2，求b+c的范围．
考点：正弦定理,余弦定理
专题：计算题,三角函数的求值,解三角形
分析：（1）运用正弦定理和两角和差的正弦公式化简，即可得到A；
（2）运用三角形的面积公式和余弦定理，解方程即可得到b，c；
（3）运用正弦定理和两角和差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到范围．
（2）运用三角形的面积公式和余弦定理，解方程即可得到b，c；
（3）运用正弦定理和两角和差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到范围．
解答：
解：（1）在△ABC中，acosC+
csinA-b-c=0，
由正弦定理，得sinAcosC+
sinCsinA-sinB-sinC=0，
sinAcosC+
sinCsinA-sin（A+C）-sinC=0，
sinAcosC+
sinCsinA-sinAcosC-sinCcosA-sinC=0，
即有
sinA-cosA=1，即有sin（A-
）=
，
由于0＜A＜π，则A-
=
，即有A=
；
（2）由于a=2，三角形面积为
，
则S=
bcsinA=
，即有bc=4，
由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA，
即4=b2+c2-bc，即b2+c2=8，
解得，b=c=2；
（3）a=2，A=
，由正弦定理可得，2R=
=
，
则b+c=2R（sinB+sinC）=
[sinB+sin（
-B）]
=
（
sinB+
cosB）=4sin（B+
），
由0＜B＜
，则
＜B+
＜
，
则
＜sin（B+
）≤1，
即有b+c的范围为（2，4]．
| 3 |
由正弦定理，得sinAcosC+
| 3 |
sinAcosC+
| 3 |
sinAcosC+
| 3 |
即有
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
由于0＜A＜π，则A-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（2）由于a=2，三角形面积为
| 3 |
则S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA，
即4=b2+c2-bc，即b2+c2=8，
解得，b=c=2；
（3）a=2，A=
| π |
| 3 |
| a |
| sinA |
4
| ||
| 3 |
则b+c=2R（sinB+sinC）=
4
| ||
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=
4
| ||
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 6 |
由0＜B＜
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
则
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
即有b+c的范围为（2，4]．
点评：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查两角和差的正弦公式的运用，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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地球北纬45°圈上有A、B两点，点A在东经30°处，点B在东经120°处，如图，若地球半径为R，则A、B两点在纬度圈上的劣弧长为（ ）A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
设双曲线
-
=1的虚轴长为2，焦距为2
，则此双曲线的离心率为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
已知数列{an}中，a1=1，且
=
+3（n∈N*），则a10=（ ）
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| A、28 | ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、33 |
如果数据x1，x2，x3，…xn的平均数为
，方差为s2，则：数据3x1+5，3x2+5，3x3+5，…3xn+5的平均数和方差分别是（ ）
. |
| x |
A、
| ||
B、3
| ||
C、3
| ||
D、3
|