Question

19．已知$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x$，把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移$\frac{1}{2}$个单位，得到y=g（x）的图象，则（　　）

• A． g（x）为奇函数
• B． g（x）为偶函数
• C． g（x）在$[0，\frac{π}{3}]$上单调递增
• D． g（x）的一个对称中心为$（-\frac{π}{2}，0）$

Answer 1

分析 将f（x）化简，根据平移变换的规律，求出g（x），结合三角函数的性质判断各选项即可．

解答 解：由$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$．
把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，可得sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]$-\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$．再向上平移$\frac{1}{2}$个单位，
可得：sin（2x-$\frac{π}{6}$）=g（x）．
∵g（-x）=sin（-2x-$\frac{π}{6}$）=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）≠-g（x）．∴A不对．
∵g（-x）=sin（-2x-$\frac{π}{6}$）=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）≠g（x）．∴B不对．
令$-\frac{π}{2}≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}$可得：$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$，∴g（x）在$[0，\frac{π}{3}]$上单调递增，∴C对．
当x=$-\frac{π}{2}$时，可得f（$-\frac{π}{2}$）=sin（-π-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．∴$（-\frac{π}{2}，0）$不是对称中心．∴D不对．
故选：C．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．