Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c
（1）若a=1，记函数f（x）在[-1，1]上最大值为M，最小值为m，求M-m≤4时b的取值范围
（2）若f（x）过点（-1，-1）
①是否存在a、b、c，使得2x≤f（x）≤

x2+2x+1

2

对于x∈R恒成立，若有，求出f（x）的解析式？若无，说明理由；
②当c=2a+3，关于x的方程log₂[f（x）-8a-4]=log₂（x+1）（3-x）存在解，求a的范围？

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，f（x）=x²+bx+c，讨论对称轴以确定最值，从而解得；
（2）①由题意b=a+c+1；化恒成立问题为最值问题，从而求解；
②化简f（x）=ax²+bx+c=ax²+（3a+4）x+（2a+3）；从而化log₂[f（x）-8a-4]=log₂（x+1）（3-x）为（a+1）x²+（3a+2）x-6a-4=0，令令F（x）=（a+1）x²+（3a+2）x-6a-4，从而求解．

解答： 解：（1）f（x）=x²+bx+c，
当-1≤-

b

2

≤1，即-2≤b≤2时，

f(-1)-f(- b 2 )≤4 f(1)-f(- b 2 )≤4

，
解得，-2≤b≤2，
当-

b

2

＞1，即b＜-2时，
M=f（-1）=1-b+c，
m=f（1）=1+b+c，
则1-b+c-（1+b+c）≤4，
解得，b≥-2，不成立；
同理当-

b

2

＜-1，即b＞2时，也不成立；
综上所述，-2≤b≤2．
（2）①∵f（x）过点（-1，-1），
∴a-b+c=-1，
即b=a+c+1；
由f（x）-2x=ax²+（b-2）x+c≥0恒成立得，

a＞0 △=(b-2)2-4ac≤0

，
同理，由f（x）≤

x2+2x+1

2

恒成立得，

1-2a=0 2-2b=0 1-2c≥0

或

1-2a＞0 (2-2b)2-4(1-2a)(1-2c)≤0

，
故当a=

1

2

，b=1，c=-

1

2

时，上式成立；
故f（x）=

1

2

x²+x-

1

2

；
②当c=2a+3，b=3a+4；
故f（x）=ax²+bx+c
=ax²+（3a+4）x+（2a+3）；
f（x）-8a-4=ax²+（3a+4）x-6a-1，
由log₂[f（x）-8a-4]=log₂（x+1）（3-x）可得，
-1＜x＜3，
故f（x）-8a-4=ax²+（3a+4）x-6a-1=（x+1）（3-x），
即（a+1）x²+（3a+2）x-6a-4=0在（-1，3）上有解，
若a+1=0，解得，x=2，成立；
令F（x）=（a+1）x²+（3a+2）x-6a-4，
若-

3a+2

2a+2

≤-1或-

3a+2

2a+2

≥3，即a＞0或a＜-1或-1＜a＜-

8

9

时，
F（-1）•F（3）＜0，
即（（a+1）-（3a+2）-6a-4）（9（a+1）+3（3a+2）-6a-4）＜0，
解得a＞-

5

8

或a＜-

11

12

故a＞0或a＜-1或-1＜a＜-

11

12

，
当-1＜-

3a+2

2a+2

＜3，即-

8

9

＜a＜0时，
△=（3a+2）²+4（a+1）（6a+4）≥0
解得，a≥-

2

3

或a≤-

10

11

，
F（-1）＞0或F（3）＞0，
即-8a-5＞0或12a+11＞0，
解得，-

2

3

≤a＜0，
综上所述，a＜-

11

12

或-

2

3

≤a＜0或a＞0．

点评：本题考查了二次函数的性质应用，属于难题．