Question

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比数列；
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）令b_n=a_n+2^a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），由等差数列的通项公式列出方程，求出a₁与q的关系，再代入a_n化简；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出b_n，利用分组求和法，等比、等差数列的前n项和公式求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），
因为a₁，a₂，a₄成等比数列，所以a22=a1•a4，
则(a1+d)2=a1•(a1+3d)，化简得，a₁=d，
由a₁=1得，d=1，
所以a_n=1+（n-1）=n；  
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=a_n+2^a_n=n+2ⁿ，
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（1+2+…+n）+（2+2²+…+2ⁿ）
=

n(n+1)

2

+

2(1-2n)

1-2

=

n(n+1)

2

+2n+1-2
=

n2+n-4

2

+2n+1．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、等比、等差数列的前n项和公式，以及数列的求和方法：分组求和法，根据数列的通项公式特点选择恰当的方法求解．