Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式．
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域．
（3）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接由图象得到A和四分之一周期，进一步求得周期，代入周期公式求得ω，再由五点作图的第二点求得φ，则f（x）额解析式可求；
（2）直接由x的范围求解f（x）的值域；
（3）利用复合函数的单调性求解f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）由图可知，A=3，T=4×(

7π

12

-

π

3

)=4×

π

4

=π，
∴ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
由五点作图的第二点得：2×

π

3

+φ=

π

2

，则φ=-

π

6

．
∴f（x）=3sin（2x-

π

6

）；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
则-

3

2

≤3sin（2x-

π

6

）≤3．
∴f（x）的值域为[-

3

2

，3]；
（3）f（x）=3sin（2x-

π

6

），
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，得：
-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z．
∴f（x）的增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z；
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得：

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ，k∈Z．
∴f（x）的减区间为[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]，k∈Z．

点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，关键是利用五点作图的某一点求φ的值，考查了三角函数值域的求法，训练了复合函数的单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．