Question

17．已知二次函数f（x）=x²-ax+3，且对任意的实数x都有f（4-x）=f（x）成立．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，3]上的值域；
（3）要得到函数y=x²的图象只需要将二次函数y=f（x）的图象做怎样的变换得到．

Answer 1

分析 （1）由函数的对称轴即可求出a的值，
（2）根据二次函数的单调性即可求出函数f（x）在区间[0，3]上的值域，
（3）根据图象的平移法则即可求出答案．

解答 解：（1）∵f（4-x）=f（x），
∴f（x）对称轴为x=2，即$\frac{a}{2}$=2，
∴a=4．
（2）∵f（x）=x²-4x+3在[0，2]上递减，在[2，3]上递增，
∴f（x）_min=f（2）=-1，
又f（0）=3，f（3）=0，
∴f（x）_max=f（0）=3，
∴函数f（x）的值域为[-1，3]，
（3）将函数f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1的图象整体向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
即可得到函数y=x²的图象．

点评 本题考查二次函数的基本性质，主要是对称轴和在闭区间上的单调性问题，属于中档题目．