Question

7．已知集合A={a₁，a₂，a₃，…a_n}，（0≤a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，n∈N^*，n≥3）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i，a_i-a_i至少有一个属于A．
（1）分别判断集合M={0，2，4}与N={1，2，3}是否具有性质P
（2）求证：
①a₁=0
②a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{n}{2}$a_n
（3）当n=3或4时集合A中的数列{a_n}是否一定成等差数列？说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用新定义，可以判断集合M={0，2，4}具有性质P，N={1，2，3}不具有性质P；
（2）根据数列：a₁，a₂，…a_n（0≤a₁＜a₂…＜a_n），n≥3时具有性质P，对任意i，j（1≤i＜j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的一项
（3）确定a₁=0，再利用新定义，即可判断具有性质P的集合A中的数列{a_n}是否一定成等差数列．

解答 （1）解：集合M={0，2，4}具有性质P，N={1，2，3}不具有性质P．
∵集合M={0，2，4}中，a_j+a_i与a_j-a_i（1≤i≤j≤2）两数中都是该数列中的项，4-2是该数列中的项，
∴集合M={0，2，4}具有性质P；
N={1，2，3}中，3在此集合中，则由题意得3+3和3-3至少一个一定在，而3+3=6不在，所以3-3=0一定是这个集合的元素，而此集合没有0，故不具有性质P；
（2）①数列中的最大项a_n，显然a_n+a_n=2a_n不是数列中的项，则必有a_n-a_n=0属于该数列，故0∈A，所以a₁=0，
②若数列A具有该性质P，设a_n是最大项，则具有性质ai+an（1＜i≤n，i∈N*），不在A中，则a_n-a_i是数列A中的项，则依题意：a_n-a_n＜a_n-a_n-1＜a_n-a_n-2＜…＜a_n-a₂＜a_n-a₁，则由给的数列A的性质可知；a_n-a_n=a₁，a_n-a_n-1=a₂，a_n-a_n-2=a₃，…a_n-a₂=a_n-1，a_n-a₁=a_n，将前面n个式子相加得：na_n-（a₁+a₂+a₃+…a_n-1+a_n）=a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n，故na_n=2（a₁+a₂+a₃+…a_n-1+a_n），
故a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{n}{2}$a_n
（3）解：n=3时，∵数列a₁，a₂，a₃具有性质P，0≤a₁＜a₂＜a₃
∴a₂+a₃与a₃-a₂至少有一个是该数列中的一项，
∵a₁=0，a₂+a₃不是该数列的项，∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂，数列{a_n}一定成等差数列；
n=4时，∵数列a₁，a₂，a₃，a₄具有性质P，0≤a₁＜a₂＜a₃＜a₄，
∴a₃+a₄与a₄-a₃至少有一个是该数列中的一项，
∵a₃+a₄不是该数列的项，∴a₄-a₃=a₂，或a₄-a₃=a₃，
若a₄-a₃=a₂，则数列{a_n}一定成等差数列；若a₄-a₃=a₃，则数列{a_n}不一定成等差数列；

点评 本题考查数列的综合应用，考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，属于难题