Question

8．已知f（x）=x²-4x+3，g（x）=mx+5-2m，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，则实数m的取值范围是（-∞，-3]∪[6，+∞）．

Answer 1

分析 根据对任意的x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于m的不等式组，解不等式组可得答案．

解答 解：∵f（x）=x²-4x+3，h函数的对称轴为：x=2，
对任意的x₁∈[1，4]，记f（x）∈[-1，3]．记A=[-1，3]
由题意，知m=0时成立，
当m＞0时，g（x）=mx+5-2m，在[1，4]上是增函数，
∴g（x）∈[5-m，2m+5]，记B=[5-m，2m+5]．
由题意，知B?A
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≥5-m}\\{2m+5≥3}\end{array}\right.$，解得m≥6．
当m＜0时，g（x）=mx+5-2m，在[1，4]上是减函数，
∴g（x）∈[2m+5，5-m]，记C=[2m+5，5-m]．
由题意，知C?A
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+5≤-1}\\{5-m≥4}\end{array}\right.$，解得m≤-3．
综上所述，m∈（-∞，-3]∪[6，+∞）．
故答案为：（-∞，-3]∪[6，+∞）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，存在性问题，是函数图象和性质的综合应用，其中存在性问题转化为值域的包含关系难度较大．