Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x}，x＞2}\\{（x-1）^{3}，x≤2}\end{array}\right.$，a∈R．
（1）当a=2时，求方程f（x）=x-1的实数解；
（2）若方程f（x）=3x-1有且只有两个实数解，求实数a的取值范围；
（3）已知函数g（x）=f（x）+2ax-1，其定义域为[2，4]，求函数的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据分段函数的解析式得到$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\frac{2}{x}}\\{x＞2}\end{array}\right.$  或$\left\{\begin{array}{l}{x-1=（x-1）^{3}}\\{x≤2}\end{array}\right.$，解得即可，
（2）根据分段函数的解析式得到3x²-x-a=0在（2，+∞）上有且只有一个实数根，构造函数，根据二次函数的性质即可求出，
（3）根据函数单调性的定义，先判断单调性，再分类讨论即可求出函数的最大值．

解答 解：（1）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\frac{2}{x}}\\{x＞2}\end{array}\right.$  或$\left\{\begin{array}{l}{x-1=（x-1）^{3}}\\{x≤2}\end{array}\right.$，----------------------------（2分）
解得x=2或x=1，或x=0．----------------------------（3分）
（2）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{3x-1=\frac{a}{x}}\\{x＞2}\end{array}\right.$，①，或$\left\{\begin{array}{l}{3x-1=（x-1）^{3}}\\{x≤2}\end{array}\right.$，②--------------------（4分）
由②得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3{x}^{2}=0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，解得x=0，----------------------------（5分）
∵方程f（x）=3x-1有且只有有两个实数解，则①有且只有一个实数根，----------------------------（6分）
即3x²-x-a=0在（2，+∞）上有且只有一个实数根，构造函数h（x）=3x²-x-a=0，（亦可分析a=3x²-x））
抛物线开口向上，对称轴为x=$\frac{1}{6}$，
则有h（2）＜0，即10-a＜0，
∴a＞10．----------------------------（7分）
（3）依题意得：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x}+2ax-1，x∈（2，4]}\\{4a，x=2}\end{array}\right.$，-------------------------------------------------------（8分）
则有g（x）=a（$\frac{1}{x}$+2x）-1，任取2＜x₁＜x₂≤4，
∴g（x₁）-g（x₂）=a（$\frac{1}{{x}_{1}}$+2x₁-$\frac{1}{{x}_{2}}$-2x₂）=a（x₁-x₂）$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，2x₁x₂-1＞0，
（i）若a＞0，g（x₁）-g（x₂）＜0，函数g（x）在（2，4]单调递增，
又g（4）=$\frac{33a}{4}$-1，令4a=$\frac{33a}{4}$-1，解得a=$\frac{4}{17}$，
则当a≥$\frac{4}{17}$时，函数g（x）的最大值为$\frac{33a}{4}$-1；
则当0＜a＜$\frac{4}{17}$时，函数g（x）的最大值为4a；----------------------------（9分）
（ii） 当a=0时，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x∈（2，4]}\\{0，x=2}\end{array}\right.$函数g（x）的最大值为0；----------（10分）
（iii）当a＜0时，g（x₁）-g（x₂）＞0，函数g（x）单调递减，g（x）＜$\frac{9a}{2}$-1
又（$\frac{9}{2}$a-1）-4a=$\frac{1}{2}$a-1＜0，
则当a＜0时，则函数g（x）的最大值为4a；----------------------------（11分）
综上可得：当a≥$\frac{4}{17}$时，函数g（x）的最大值为$\frac{33a}{4}$-1；当a＜$\frac{4}{17}$时，函数g（x）的最大值为4a．--------------------------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查了分段函数，二次函数，函数的单调性和函数的最值，关键时分类讨论，属于中档题．