Question

3．已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根x=$\frac{1}{2}$，则f（x）=0在区间[0，2016]内根的个数为（　　）

• A． 2015
• B． 1007
• C． 2016
• D． 1008

Answer 1

分析 由条件推出f（1-x）=f（1+x），进而推出f（x）为偶函数，且f（x）是周期等于2的周期函数，根据f（ $\frac{1}{2}$）=0，求出f（ $\frac{3}{2}$）=0，从而得到函数f（x）在一个周期的零点个数，且函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，从而得到f（x）=0在区间[0，2016]内根的个数．

解答 解：∵f（x）=f（-x+2），
∴f（x）的图象关于直线x=1对称，即f（1-x）=f（1+x）．
又f（x+1）=f（x-1），∴f（x-1）=f（1-x），即f（x）=f（-x），
故函数f（x）为偶函数．
再由f（x+1）=f（x-1）可得f（x+2）=f（x），
故函数f（x）是周期等于2的周期函数，
∵f（$\frac{1}{2}$）=0，
∴f（-$\frac{1}{2}$）=0，再由周期性得f（-$\frac{1}{2}$+2）=f（$\frac{3}{2}$）=0，
故函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点，
即函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，
∴f（x）=0在区间[0，2016]内根的个数为2016，
故选：C．

点评 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．