Question

已知函数f（x）=lnx+a，g（x）=x-a．
（Ⅰ）当直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线时，求a的值；
（Ⅱ）当a＞0时，若函数F（x）=f（x）•g（x）在区间[e-

3

2

，1]上不单调，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a∈Z且xf（x）+g（x）＞0对一切x＞1恒成立，求a的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，结合直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线，即可求a的值；
（Ⅱ）要使F（x）=f（x）•g（x）在区间[e-

3

2

，1]上不单调，只需满足F′（e-

3

2

）=1+a+lne-

3

2

-

a

e- 3 2

＜0，即可求a的取值范围；
（Ⅲ）由题意x（lnx+a）+x-a＞0对一切x＞1成立等价于a＞

xlnx+x

1-x

对一切x＞1成立．求出右边的最小值，即可求a的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设切点为（x₀，y₀），则
∵f（x）=lnx+a，
∴f′（x）=

1

x

，
∵直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线，
∴

1

x0

=1，
∴x₀=1，
∴切点为（1，a），
代入g（x）=x-a，可得1-a=a，∴a=

1

2

；
（Ⅱ）F（x）=f（x）•g（x）=（lnx+a）（x-a），
∴F′（x）=1+a+lnx-

a

x

，
∵a＞0，∴在（0，+∞）上F′（x）单调递增，
∵F′（1）=1+a+ln1-a＞0，
∴要使F（x）=f（x）•g（x）在区间[e-

3

2

，1]上不单调，
∴只需满足F′（e-

3

2

）=1+a+lne-

3

2

-

a

e- 3 2

＜0，
解得a＞

e +1

2(e-1)

；
（Ⅲ）由题意x（lnx+a）+x-a＞0对一切x＞1成立等价于a＞

xlnx+x

1-x

对一切x＞1成立，
记h（x）=

xlnx+x

1-x

（x＞1），则h′（x）=

2+lnx-x

(1-x)2

，
记m（x）=2+lnx-x（x＞1），则m′（x）=

1

x

-1＜0，
∴m（x）=2+lnx-x在（1，+∞）上单调递减，
∵m（3）=2+ln3-3＞0，m（4）=ln4-2＜0，
∴?x₀∈（3，4），使得m（x₀）=0
且x∈（1，x₀），m（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）在（1，x₀）上单调递增；
x∈（x₀，+∞），m（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x₀，+∞）上单调递减；
∴h（x）_min=h（x₀）=

x0lnx0+x0

1-x0

，
∵m（x₀）=0，∴2+lnx₀-x₀=0，∴lnx₀=x₀-2，
∴h（x₀）=

x0lnx0+x0

1-x0

=-x₀，
∴a＞-x₀，
∵x₀∈（3，4），
∴-x₀∈（-4，-3），
∵a∈Z，
∴a的最小值为-3．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，难度大．