题目内容
6．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是①③④（写出所有正确命题的编号）①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3；
②直线l：x=-1在点P（-1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2；
③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx；
④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx．
分析 分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P处的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．
解答 解：对于①，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，
又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，故命题①正确；
对于②，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），则y′|x=-1=0，
而直线l：x=-1的斜率不存在，在点P（-1，0）处不与曲线C相切，故命题②错误；
对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时x＜sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，
故命题③正确；
对于④，y=tanx的导数为y′=sec2x，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时x＞tanx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）时x＜tanx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，故④正确．
∴正确的命题是①③④．
故答案为：①③④．
点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的单调区间和极值、最值，该题是中档题．
练习册系列答案
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14．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差xi与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数yi（i=1，2，…，5），作了初步处理，得到下表：
（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于26”的概率；
（2）请根据3月1日至3月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，并预报3月份昼夜温差为14度时实验室每天100颗种子浸泡后的发芽（取整数值）．
附：回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中的斜率和截距最小二乘法估计公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=1351}$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=615．
| 日期 | 3月1日 | 3月2日 | 3月3日 | 3月4日 | 3月5日 |
| 温差xi（0C） | 10 | 11 | 13 | 12 | 9 |
| 发芽率yi（颗） | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
（2）请根据3月1日至3月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，并预报3月份昼夜温差为14度时实验室每天100颗种子浸泡后的发芽（取整数值）．
附：回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中的斜率和截距最小二乘法估计公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=1351}$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=615．
1．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时袋中抽取的白球的个数为随机变量ξ，则$P（ξ≤\sqrt{6}）$=（ ）
| A． | $\frac{9}{14}$ | B． | $\frac{25}{56}$ | C． | $\frac{37}{56}$ | D． | $\frac{23}{28}$ |
11．在△ABC中，若cosA=$\frac{1}{3}$，则tanA=（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | B． | $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ | C． | 2$\sqrt{2}$ | D． | 3 |