Question

4．在正三棱锥P-ABC中，点P，A，B，C都在球O的球面上，PA，PB，PC两两互相垂直，且球心O到底面ABC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则球O的表面积为12π．

Answer 1

分析 先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算．

解答 解：∵正三棱锥P-ABC，PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，
设球O的半径为R，
则正方体的边长为$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$，
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}$S_△ABC×h=$\frac{1}{3}$S_△PAB×PC=$\frac{4\sqrt{3}}{27}$，
△ABC为边长为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$R的正三角形，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×$（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$R）²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R²，
∴h=$\frac{2R}{3}$，
∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为R-$\frac{2R}{3}$=$\frac{R}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$R=\sqrt{3}$，
∴S=4πR²=12π．
故答案为：12π．

点评 本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题．