题目内容
15．某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1-5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1-5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元，6000元，8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额）设某选手正确回答每扇门的歌曲名字的概率均为Pi且Pi=$\frac{6-i}{7-i}$（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为$\frac{1}{5}$，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为$\frac{1}{2}$；
（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；
（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X元，求X的分布列和数学期望．
分析 （1）记事件“选手正确回答第i扇门歌曲”为Ai记事件“亲友团正确回答歌曲名字”为B，记事件“回答正确后选择继续挑战”为C，第三扇门选手答不出才求助，由此能求出选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率．
（2）X可能的取值有：0，3000，6000，8000，12000，24000，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
解答 解：（1）记事件“选手正确回答第i扇门歌曲”为Ai
记事件“亲友团正确回答歌曲名字”为B，
记事件“回答正确后选择继续挑战”为C，
则对应事件的概率分别为$P（{A_1}）=\frac{5}{6}，P（{A_2}）=\frac{4}{5}，P（{A_3}）=\frac{3}{4}，P（{A_4}）=\frac{2}{3}，P（{A_5}）=\frac{1}{2}$，
$P（B）=\frac{1}{5}，P（C）=\frac{1}{2}$
因此题目所求概率为P（A1）P（A2）P（$\overline{{A}_{3}}$）P（A4）P（B）P4（C）=$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{5}×\frac{1}{{2}^{4}}$=$\frac{1}{720}$．
注意：第三扇门选手答不出才求助
（2）X可能的取值有：0，3000，6000，8000，12000，24000，
$P（X=3000）=\frac{5}{6}\frac{1}{2}=\frac{5}{12}$，
$P（X=6000）=\frac{5}{6}\frac{4}{5}\frac{1}{2^2}=\frac{1}{6}$，
$P（X=8000）=\frac{5}{6}\frac{4}{5}\frac{3}{4}\frac{1}{2^3}=\frac{1}{16}$，
$P（X=12000）=\frac{5}{6}\frac{4}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3}\frac{1}{2^4}=\frac{1}{48}$，
$P（X=24000）=\frac{5}{6}\frac{4}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3}\frac{1}{2}\frac{1}{2^4}=\frac{1}{96}$，
$P（X=0）=1-P（3000）-P（6000）-P（8000）-P（12000）-P（24000）=\frac{31}{96}$，
∴X的分布列为
| X | 0 | 3000 | 6000 | 8000 | 12000 | 24000 |
| P | $\frac{31}{96}$ | $\frac{5}{12}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{48}$ | $\frac{1}{96}$ |
注意：最后一次答对无需再选择．
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．
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