题目内容
6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P（2，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，圆O：x2+y2=a2，B1（0，-b），B2（0，b），E为椭圆C上异于顶点的任意一点，点F在圆O上，且EF⊥x轴，E与F在x轴两侧，直线EB1，EB2分别与x轴交于点C，H，记直线FG，FH的斜率分别为k1，k2，问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
分析 （1）求得c=1，将P的坐标代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设E（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{5}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，①由题可设F（m，t），m2+t2=5，②，求得m2，n2，运用直线方程，令y=0，求得G，H的坐标，再由直线的斜率公式，化简整理得到所求斜率之积为定值．
解答 
解：（1）由题意可得2c=2，即c=1，a2-b2=1，
点P（2，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）在椭圆上，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{5{b}^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{5}$，b=2，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设E（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{5}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，①
由题可设F（m，t），可得m2+t2=5，②
由①②可得n2=$\frac{4}{5}$t2，
由①可得m2=-$\frac{5}{4}$（n2-4），
由B1（0，2），B2（0，-2），
直线EB1：y=$\frac{n-2}{m}$x+2，
令y=0，可得x=$\frac{-2m}{n-2}$，即G（$\frac{-2m}{n-2}$，0），
直线EB2：y=$\frac{n+2}{m}$x-2，
令y=0，可得x=$\frac{2m}{n+2}$，即H（$\frac{2m}{n+2}$，0），
即有k1k2=$\frac{t}{m-\frac{-2m}{n-2}}$•$\frac{t}{m-\frac{2m}{n+2}}$=$\frac{{t}^{2}（{n}^{2}-4）}{{m}^{2}{n}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}（{n}^{2}-4）}{-\frac{5}{4}（{n}^{2}-4）•\frac{4}{5}{t}^{2}}$=-1．
则k1k2为定值-1．
点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用焦距和点满足椭圆方程，考查直线的斜率之积为定值的求法，注意运用点满足圆方程和椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
已知椭圆：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1，已知A（1，0）．B（2，0），若过B的直线与椭圆C交于P、Q两点．