Question

10．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P在椭圆上，如果PF₁的中点在y轴上，且|PF₁|=$\frac{5}{3}$|PF₂|，则椭圆的离心率e为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 运用椭圆的定义和条件，可得|PF₂|=$\frac{3}{4}$a，运用三角形的中位线定理，可得PF₂垂直于x轴，$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{3}{4}$a，运用a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由椭圆的定义可得，|PF₁|+|PF₂|=2a，
由|PF₁|=$\frac{5}{3}$|PF₂|，可得|PF₂|=$\frac{3}{4}$a，
由PF₁的中点在y轴上，可得PF₂垂直于x轴，
令x=c，可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{3}{4}$a，即有b²=a²-c²=$\frac{3}{4}$a²，
即c²=$\frac{1}{4}$a²，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和三角形的中位线定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．