题目内容
5．
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4$\sqrt{2}$y的焦点．（1）求椭圆C的方程；
（2）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，如果为定值，求出斜率的值；如果不为定值，请说明理由．
分析 （1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．由抛物线x2=4$\sqrt{2}$y的焦点$（0，\sqrt{2}）$，可得b=$\sqrt{2}$，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．
（2）把x=2代入椭圆方程解得P（2，1），Q（2，-1）．当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，可得直线PA与PB的斜率相为相反数．不妨设kPA=k＞0，则kPB=-k．（k≠0）．可得直线PA的方程为：y-1=k（x-2），直线PB的方程：y-1=-k（x-2），分别与椭圆方程联立解得点A，B的坐标，再利用斜率计算公式即可得出．
解答 解：（1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由抛物线x2=4$\sqrt{2}$y的焦点$（0，\sqrt{2}）$，可得b=$\sqrt{2}$，又a2=b2+c2，
联立解得：$b=\sqrt{2}$，a=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{6}$．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）把x=2代入椭圆方程可得：$\frac{4}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，解得y=±1．∴P（2，1），Q（2，-1）．
∵当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，∴直线PA与PB的斜率相为相反数，
不妨设kPA=k＞0，则kPB=-k．（k≠0）．
则直线PA的方程为：y-1=k（x-2），直线PB的方程：y-1=-k（x-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，解得：（1+4k2）x2+（8k-16k2）x+16k2-16k-4=0，
∵2xA=$\frac{16{k}^{2}-16k-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴xA=$\frac{8{k}^{2}-8k-2}{1+4{k}^{2}}$，yA=k（xA-2）+1=$\frac{-8{k}^{2}-4k}{1+4{k}^{2}}$．
同理可得：xB=$\frac{8{k}^{2}+8k-2}{1+4{k}^{2}}$，yB=$\frac{-8{k}^{2}+4k}{1+4{k}^{2}}$．
∴kAB=$\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{1}{2}$．
∴直线AB的斜率是定值，为$\frac{1}{2}$．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
阅读快车系列答案| A． | 6 | B． | 3 | C． | $\frac{8}{3}$ | D． | $\frac{4}{3}$ |
已知椭圆C：$\frac{x^2}{3}+{y^2}$=1，过点M（2，0）任作一条直线与C交于不同的两点A、B．