Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{{{log}_3}x}|，0＜x＜3\\ sin（{\frac{π}{6}x}），3≤x≤15\end{array}$，若存在实数x₁，x₂，x₃，x₄，满足x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），则$\frac{{{x_3}+{x_4}}}{{{x_1}{x_2}}}$的值等于（　　）

• A． 18π
• B． 18
• C． 9π
• D． 9

Answer 1

分析 画出函数f（x）的图象，确定x₁x₂=1，x₃+x₄=18，求解即可．

解答 解：当3≤x≤15，时，f（x）=sin$\frac{π}{6}$x，当0＜x＜3时，f（x）=|log₃x|
则函数的图象如图，
则0＜x₁＜1＜x₂＜3＜x₃＜x₄，且x₃，x₄，关于x=9对称，
∵f（x₁）=f（x₂），
∴-log₃x₁=log₃x₂，
∴log₃x₁x₂=0，
∴x₁x₂=1，
∵f（x₃）=f（x₄），
∴x₃+x₄=18，
∴$\frac{{{x_3}+{x_4}}}{{{x_1}{x_2}}}$=18，
故选：B

点评 本题考查分段函数的图象画法、函数的值域的应用、函数与方程的综合应用等基础知识，考查运算求解能力，数形结合能力、化归与转化思想，属于中档题