Question

4．函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，g（x）=f（x-1）+1，a_n=g（$\frac{1}{n}$）+g（$\frac{2}{n}$）+g（$\frac{3}{n}$）+…+g（$\frac{2n-1}{n}$），n∈N^*
（1）求函数{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}a_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）+f（x）=0可得g（x）+g（2-x）=2，使用倒序相加法求出a_n；
（2）求出b_n，利用裂项法求和．

解答 解：（1）∵f（-x）+f（x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$+$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$+$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=0，
∴g（x）+g（2-x）=f（x-1）+1+f（1-x）+1=2，
∵a_n=g（$\frac{1}{n}$）+g（$\frac{2}{n}$）+g（$\frac{3}{n}$）+…+g（$\frac{2n-1}{n}$），
∴a_n=g（$\frac{2n-1}{n}$）+g（$\frac{2n-2}{n}$）+g（$\frac{2n-3}{n}$）+…+g（$\frac{1}{n}$），
两式相加得2a_n=2（2n-1），
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-$$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了函数的性质，数列通项公式的求法和裂项法求和，属于中档题．