Question

已知函数f（x）是定义在[-5，5]上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+4x
（1）画出函数f（x）的大致图象，并写出函数的单调增区间与单调减区间．
（2）若方程f（x）+2a=0有四个根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数图象的作法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据偶函数的对称性即可画出函数f（x）的大致图象，并写出函数的单调增区间与单调减区间．
（2）利用数形结合即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）若0≤x≤5，则-5≤-x≤0，
∵f（x）是定义在[-5，5]上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+4x
∴f（-x）=x²-4x=f（x），
即f（x）=x²-4x，0≤x≤5，
作出函数的图象如图：
单调增区间：（-2，0），（2，5）；
单调减区间：（-5，-2），（0，2）；
（2）由f（x）+2a=0得f（x）=-2a，
若方程f（x）+2a=0有四个根，
则等价为函数f（x）与y=-2a有四个不同的交点，
由图象可知-4＜-2a＜0，
即0＜a＜2，
故实数a的取值范围是（0，2）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用以及方程和函数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．