Question

9．已知A为△ABC的最小内角，若向量$\overrightarrow{a}$=（cos²A，sin²A），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{co{s}^{2}A+1}$，$\frac{1}{si{n}^{2}A-2}$），则$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• B． （-1，$\frac{1}{2}$）
• C． [-$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）
• D． [-$\frac{2}{5}$，+∞）

Answer 1

分析 利用向量的数量积得出$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=cos²A•$\frac{1}{co{s}^{2}A+1}$+sin²A•$\frac{1}{si{n}^{2}A-2}$=2+$\frac{3}{si{n}^{2}A-2}$，A∈（0，$\frac{π}{3}$]，再利用单调性求解即可．

解答 解：∵A为△ABC的最小内角，若向量$\overrightarrow{a}$=（cos²A，sin²A），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{co{s}^{2}A+1}$，$\frac{1}{si{n}^{2}A-2}$），
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=cos²A•$\frac{1}{co{s}^{2}A+1}$+sin²A•$\frac{1}{si{n}^{2}A-2}$=2+$\frac{3}{si{n}^{2}A-2}$，A∈（0，$\frac{π}{3}$]
根据函数解析式判断为减函数
∴最大值为：2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，（此值取不着）
最小值为：2$+\frac{3}{\frac{3}{4}-2}$=$-\frac{2}{5}$
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的取值范围[$-\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）
故选：C

点评 本题考查了三角形的性质，平面向量的运算，性质，三角函数的单调性的运用，属于综合题目．