题目内容

4．设z∈C，若$\frac{（i-1）z}{i（z-2）}$∈R，求复数z在复平面内对应的点的轨迹．

分析 设z=x+yi（x，y∈R），代入$\frac{（i-1）z}{i（z-2）}$化简即可得出．

解答 解：设z=x+yi（x，y∈R），
则$\frac{（i-1）z}{i（z-2）}$=$\frac{（1+i）（x+yi）}{（x-2）+yi}$=$\frac{[x-y+（x+y）i][（x-2）-yi]}{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{（x-y）（x-2）+y（x+y）+[（x+y）（x-2）-y（x-y）i]}{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$∈R，
∴（x+y）（x-2）-y（x-y）=0，
化为：（x-1）2+（y-1）2=2（（x，y）≠（2，0））．
∴复数z在复平面内对应的点的轨迹是以（1，1）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆．

点评 本题考查了复数的运算法则及其几何意义、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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