Question

11．由tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$，可得：tanα+tanβ=tan（α+β）[1-tanα•tanβ]，根据此推理及公式解决下列问题：
（1）若A+B=225°，则（1+tanA）（1+tanB）2
（2）不用计算器求值：（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）•…•（1+tan44°）=2²²．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正切公式化简要求的式子可得结果．
（2）利用两角和的正切公式求得（1+tan1°）（1+tan44°），（1+tan2°）（1+tan43°）=2，（1+tan3°）（1+tan42°）=2，…，由此求得要求式子的值．

解答 解：（1）若A+B=225°，则（1+tanA）（1+tanB）=1+tanA+tanB+tanAtanB
=1+tan（α+β）[1-tanα•tanβ]+tanAtanB=1+（1-tanAtanB）+tanAtanB=2．
（2）∵（1+tan1°）（1+tan44°）=1+tan44°+tan1°+tan1°tan44°
=1+tan（1°+44°）•（1-tan1°tan44°）-tan1°tan44°=1+1-tan1°tan44°+tan1°tan44°=2，
同理求得（1+tan2°）（1+tan43°）=2，（1+tan3°）（1+tan42°）=2，…
∴（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）•…•（1+tan44°）
=[（1+tan1°）（1+tan44°）]•[（1+tan2°）（1+tan43°）]•[（1+tan3°）（1+tan42°）]•
…•[（1+tan22°）（1+tan23°）]=2²² ．
故答案为：2，2²² ．

点评 本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．