Question

4．关于函数$f（x）=4sin（2x-\frac{π}{3}）（x∈R）$，有以下命题：
（1）$y=f（x+\frac{π}{6}）$是奇函数；
（2）要得到g（x）=4sin2x的图象，只需将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位；
（3）y=f（x）的图象关于直线$x=-\frac{π}{12}$对称；
（4）y=f（x）在$[0，\frac{5π}{12}]$上单调递增，
其中正确的个数为3．

Answer 1

分析 （1）求出函数$y=f（x+\frac{π}{6}）$的解析式，结合函数奇偶性的定义进行判断．
（2）根据三角函数的图象平移关系进行判断．
（3）根据三角函数的对称性进行判断．
（4）根据三角函数的单调性进行判断．

解答 解：（1）∵$f（x）=4sin（2x-\frac{π}{3}）（x∈R）$，
∴$y=f（x+\frac{π}{6}）$=4sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]=4sin2x为奇函数，则（1）正确；
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位，得到y=4sin[2（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=4sin（2x-π）=-4sin2x，则无法得到g（x）的图象，则（2）错误；
（3）f（-$\frac{π}{12}$）=4sin[2×（-$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{3}$]=4sin（-$\frac{π}{2}$）=-4为最小值，
∴y=f（x）的图象关于直线$x=-\frac{π}{12}$对称，则（3）正确；
（4）当0≤x≤$\frac{5π}{12}$，则0≤2x≤$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，
此时函数f（x）为增函数，则（4）正确；
故正确的个数有3个，
故答案为：3

点评 本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的性质是解决本题的关键．