Question

7．某工厂经过市场调查，甲产品的日销售量P（单位：吨）与销售价格x（单位：万元/吨）满足关系式P=$\left\{\begin{array}{l}{-ax+17，3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，6＜x≤9}\end{array}\right.$（其中a为常数），已知销售价格为4万元/吨时，每天可售出该产品9吨．
（1）求a的值；
（2）若该产品的成本价格为3万元/吨，当销售价格为多少时，该产品每天的利润最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）由销售价格为4万元/吨时，每日可销售出该商品9吨，建立方程，即可得到a的值；
（2）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的函数，再用二次函数求得最值，从而得出最大值对应的x值．

解答 解：（1）由题意，x=4，P=9，
由P=$\left\{\begin{array}{l}{-ax+17，3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，6＜x≤9}\end{array}\right.$（其中a为常数），可得17-4a=9，∴a=2
（2）由（1）可得P=$\left\{\begin{array}{l}{17-2x，3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，6＜x≤9}\end{array}\right.$
设商品所获得的利润为y=（x-3）P=$\left\{\begin{array}{l}{（17-2x）（x-3），3＜x6}\\{（\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}）（x-3），6＜x≤9}\end{array}\right.$
当3＜x≤6时，y=（17-2x）（x-3），当且仅当x=6时，取得最大值15；
当6＜x≤9时，y=（x-3）（$\frac{84}{{x}^{2}}$+$\frac{7}{x}$）=-252$（\frac{1}{x}-\frac{1}{8}）^{2}$+$\frac{175}{16}$，
当x=8时，取得最大值$\frac{175}{16}$＜15．
综上可得x=6时，取得最大值15，即当销售价格为6万元/吨时，该产品每天的利润最大且为15万元．

点评 本题考查分段函数的解析式的求法，考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和配方结合二次函数的最值求得，属于中档题．