Question

已知椭圆C：4x²+y²=1及直线l：y=x+m，m∈R．
（1）求直线l被椭圆C截得的弦的中点的轨迹；
（2）若直线l交椭圆C于P、Q两点，且OP⊥OQ，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：对于第（1）问，设l与C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点为M（x₀，y₀），联立椭圆C及直线l的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，由韦达定理及中点公式，可用m表示x₀，根据中点M在直线l上，得y₀，由x₀与y₀的表达式，消去m，得x₀与y₀的关系式，最后由△＞0，得m的范围，从而得x₀的范围，即可知弦AB的中点的轨迹．
对于第（2）问，设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），联立椭圆C及直线l的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，由韦达定理，得x₃+x₄及x₃x₄，将x₃，x₄分别代入直线l的方程中，得y₃y₄，由OP⊥OQ，得

OP

•

OQ

=0，将x₃x₄及y₃y₄代入，得到关于m的方程，解些方程并检验m的值即可．

解答： 解：（1）设l与C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点为M（x₀，y₀）．
由

y=x+m 4x2+y2=1

，消去y，整理得5m²+2mx+m²-1=0，
因为直线l与椭圆C有两个交点，所以△＞0，即（2m）²-4×5（m²-1）＞0，得-

5

2

＜m＜

5

2

．…①
由韦达定理，得x1+x2=-

2m

5

，即x0=

x1+x2

2

=-

1

5

m，…②
从而y0=-

1

5

m+m=

4

5

m，…③
由②、③，消去m，得y₀=-4x₀，
由①、②，得-

5

10

＜x0＜

5

10

，
得弦AB的中点M的轨迹为直线上y=-4x上满足-

5

10

＜x＜

5

10

的一条线段．
所以弦AB的中点M的轨迹为
（2）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
由（1）知，x₃+x₄=-

2m

5

，x3x4=

m2-1

5

，
从而y₃y₄=（x₃+m）（x₄+m）=x3x4+m(x3+x4)+m2=

m2-1

5

+m•(-

2m

5

)+m2=

4m2-1

5

，
由OP⊥OQ，得

OP

•

OQ

=0，
所以x₃x₄+y₃y₄=0，即

m2-1

5

+

4m2-1

5

=0，
得m=±

10

5

，经检验，m=±

10

5

均符合题意，
故直线l的方程为y=x+

10

5

，或y=x-

10

5

．

点评：本题考查了直线与椭圆相交的关系、轨迹问题、中点弦及垂直问题，关键是利用韦达定理及直线方程进行转换．