Question

如图所示，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为直角梯形，且∠BAD=∠ADC=90°，平面PDCE⊥平面ABCD，AB=AD=

1

2

CD=1，PD=

2

．
（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求该几何体被平面PBD所分成的两部分的体积比．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）M为PA中点，连结PC，交DE与N，连结MN，通过直线与平面平行的判定定理即可求证：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）证明PD⊥平面ABD，求出V_P-AED，证明AD⊥平面PDCE，求出四棱锥的体积V_E-PDCE的体积即可得到比值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：连结PC，交DE与N，连结MN，
△PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点，
∴MN∥AC．…（2分）
因为MN?面MDE，又AC?面MDE，
所以AC∥平面MDE．…（4分）


（Ⅱ）解：由四边形PDCE为矩形，知PD⊥DC．
又平面PDCE⊥平面ABCD，
∴PD⊥平面ABD            …（6分）
三棱锥P-ABD的体积为
V_P-AED=

1

3

S△AED×PD=

1

3

×

1

2

AB×AD×PD=

1

6

×1×1×

2

=

2

6

．…（8分）
由已知AD⊥DC，又平面PDCE⊥平面ABCD，
∴AD⊥平面PDCE，∵AB∥CD，四棱锥的体积为
V_E-PDCE=

1

3

SPDCE×AD=

1

3

CD×PD×AD=

1

3

×2×

2

×1=

2 2

3

．…（10分）

VE-PDCE

VP-AED

=

2 2 3

2 6

=4，或者

VP-AED

VE-PDCE

=

2 6

2 2 3

=

1

4

，
所以原几何体被平面PBD所分成的两部分的体积比4或

1

4

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面的平行的判定定理以及直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．