Question

15．求函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值以及相应的x的值．

Answer 1

分析 首先对函数变形为ax+$\frac{b}{x}$（a＞0，b＞0）的形式，根据基本不等式得到函数的单调性，进一步求最小值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，
因t=$\sqrt{{x}^{2}+2}≥$2，所以函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$为f（t）=t+$\frac{1}{t}$在t≥2为增函数，所以f（t）≥$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
此时t=2即x=0．

点评 本题变形后容易利用基本不等式求最小值，而忽略基本不等式成立的三个条件；即本题利用基本不等式求最小值时，等号不成立．